Theo Vụ trưởng Vụ Giáo dục đại học, hiện nay, phương thức xét tuyển vào các trường đại học rất đa dạng (khoảng 20 phương thức), nhưng chủ yếu vẫn tập trung vào các phương thức như: xét kết quả thi tốt nghiệp THPT, xét học bạ, xét tuyển thẳng,… Tuy nhiên, sự đa dạng này phần nào cũng gây ra sự khó khăn cho thí sinh trong nắm bắt thông tin.

Nhiều phương thức được các trường sử dụng trong mùa tuyển sinh năm nay.

Cùng với việc bổ sung nhiều phương thức đã khiến việc phân bổ chỉ tiêu không hợp lý, có sự tăng giảm mạnh qua các năm, khiến thí sinh không có sự chuẩn bị kịp thời cho mùa tuyển sinh đó.

Nhiều trường thậm chí tuyển sinh không đúng với chỉ tiêu đã công bố cho từng phương thức xét tuyển, dẫn đến thiếu đảm bảo công bằng đối với thí sinh, gây hệ quả không tốt trong dư luận xã hội. Ví dụ, năm trước, điểm trúng tuyển theo kết quả THPT quá cao bất thường, có những thí sinh 30 điểm cũng không đỗ vào ngành học đã lựa chọn.

Bên cạnh đó, một số trường còn tăng giảm, thêm bớt tổ hợp thi nhưng lại chưa đưa ra được căn cứ cụ thể để giải trình cho sự lựa chọn đó để xã hội đồng lòng. Các trường áp dụng nhiều phương thức tuyển sinh khác nhau, nhưng không có biện pháp bảo đảm công bằng giữa các thí sinh, tiến hành gọi thí sinh nhập học sớm mà không cập nhật dữ liệu lên hệ thống chung, dẫn tới số lượng thí sinh ảo lớn, đồng thời chưa tạo điều kiện cho thí sinh lựa chọn được ngành học theo đúng nguyện vọng ưu tiên nhất, có năng lực nhất.

Do đó, bà Thủy cho rằng, trong mùa tuyển sinh năm nay, các trường cần giữ đảm bảo ổn định. Đối với các phương thức tuyển sinh đang được sử dụng, nếu muốn giảm chỉ tiêu hoặc bỏ thì cần phải có lộ trình giảm, ví dụ không được giảm quá 30% tổng chỉ tiêu của ngành mỗi năm, tránh gây xáo trộn cho việc học tập, ôn luyện của thí sinh. Các trường cũng cần phải phân tích rủi ro và phương án giải quyết, phối hợp giải quyết trong quá trình tuyển sinh.

Bên cạnh đó, nếu một số trường xét tuyển theo phương thức riêng, có yêu cầu phức tạp hơn vẫn cần có hệ thống đăng ký và nhận hồ sơ riêng. Trong cùng một ngành, theo bà Thủy, cũng nên quy về cùng một thang điểm để đảm bảo công bằng.

Hội nghị trực tuyến tuyển sinh cao đẳng ngành giáo dục mầm non, đại học năm 2022

Tại Hội nghị, Thứ trưởng Hoàng Minh Sơn cũng cho rằng, các trường không nên chạy đua “nở rộ” nhiều phương thức. Việc lựa chọn phương thức mới, một tổ hợp mới cần phải được cân nhắc kỹ lưỡng.

“Không nên thêm quá nhiều phương thức thi. Khi tất cả các trường đưa thêm nhiều phương thức tuyển sinh, cuối cùng vẫn chỉ chọn trong từng đó thí sinh, do đó không hẳn các trường sẽ có lợi trong việc này”, ông Sơn nói.

Những điểm mới trong mùa tuyển sinh năm 2022

Đại diện Bộ GD-ĐT cũng nêu ra 6 nội dung dự kiến điều chỉnh trong mùa tuyển sinh năm 2022. Trong đó, việc đăng ký dự thi kỳ thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển đại học phải thực hiện trên Cổng thông tin của Bộ hoặc Cổng dịch vụ công quốc gia.

Đối với thí sinh đăng ký xét tuyển đợt 1, tất cả các nguyện vọng xét tuyển được đăng ký xét tuyển trực tuyến sau khi kết thúc kỳ thi tốt nghiệp THPT, các nguyện vọng được xếp thứ tự từ 1 đến hết.

Tất cả các nguyện vọng đăng ký xét tuyển của thí sinh vào các cơ sở đào tạo được lọc ảo chung trên hệ thống và thí sinh trúng tuyển ở nguyện vọng cao nhất khi đáp ứng điều kiện của cơ sở đào tạo.

Đối với những ngành sử dụng đồng thời nhiều phương thức xét tuyển, nhiều tổ hợp môn thi, các trường phải giải trình được sự phù hợp của sự lựa chọn này, đảm bảo sự công bằng cho thí sinh. Nếu mỗi phương thức hoặc mỗi tổ hợp môn thi có chỉ tiêu riêng thì đề án tuyển sinh của các trường phải giải trình được căn cứ phù hợp cho việc phân chỉ tiêu cho từng phương thức hoặc tổ hợp.

Năm 2022, dự kiến, kết quả học tập năm lớp 10, lớp 11, lớp 12 sẽ được cập nhật lên cơ sở dữ liệu ngành, đồng thời kiểm tra rà soát dữ liệu này sau khi được đồng bộ sang hệ thống quản lý thi và xét tuyển.

Thúy Nga

Thi tốt nghiệp THPT năm 2022 dự kiến vào tháng 7

Đại diện Bộ GD-ĐT cho biết, kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 dự kiến diễn ra vào tháng 7, do thời gian kết thúc năm học của lớp 12 ở một số địa phương có thể phải kéo dài đến hết tháng 6.

Đây là thông tin được Vụ trưởng Vụ Giáo dục đại học (Bộ GD-Đt) Nguyễn Thu Thủy nêu ra tại Hội nghị trực tuyến tuyển sinh cao đẳng ngành giáo dục mầm non, đại học năm 2022diễn ra chiều 16/3.

Theo Vụ trưởng Vụ Giáo dục đại học, hiện nay, phương thức xét tuyển vào các trường đại học rất đa dạng (khoảng 20 phương thức), nhưng chủ yếu vẫn tập trung vào các phương thức như: xét kết quả thi tốt nghiệp THPT, xét học bạ, xét tuyển thẳng,… Tuy nhiên, sự đa dạng này phần nào cũng gây ra sự khó khăn cho thí sinh trong nắm bắt thông tin.

Nhiều phương thức được các trường sử dụng trong mùa tuyển sinh năm nay.

Cùng với việc bổ sung nhiều phương thức đã khiến việc phân bổ chỉ tiêu không hợp lý, có sự tăng giảm mạnh qua các năm, khiến thí sinh không có sự chuẩn bị kịp thời cho mùa tuyển sinh đó.

Nhiều trường thậm chí tuyển sinh không đúng với chỉ tiêu đã công bố cho từng phương thức xét tuyển, dẫn đến thiếu đảm bảo công bằng đối với thí sinh, gây hệ quả không tốt trong dư luận xã hội. Ví dụ, năm trước, điểm trúng tuyển theo kết quả THPT quá cao bất thường, có những thí sinh 30 điểm cũng không đỗ vào ngành học đã lựa chọn.

Bên cạnh đó, một số trường còn tăng giảm, thêm bớt tổ hợp thi nhưng lại chưa đưa ra được căn cứ cụ thể để giải trình cho sự lựa chọn đó để xã hội đồng lòng. Các trường áp dụng nhiều phương thức tuyển sinh khác nhau, nhưng không có biện pháp bảo đảm công bằng giữa các thí sinh, tiến hành gọi thí sinh nhập học sớm mà không cập nhật dữ liệu lên hệ thống chung, dẫn tới số lượng thí sinh ảo lớn, đồng thời chưa tạo điều kiện cho thí sinh lựa chọn được ngành học theo đúng nguyện vọng ưu tiên nhất, có năng lực nhất.

Do đó, bà Thủy cho rằng, trong mùa tuyển sinh năm nay, các trường cần giữ đảm bảo ổn định. Đối với các phương thức tuyển sinh đang được sử dụng, nếu muốn giảm chỉ tiêu hoặc bỏ thì cần phải có lộ trình giảm, ví dụ không được giảm quá 30% tổng chỉ tiêu của ngành mỗi năm, tránh gây xáo trộn cho việc học tập, ôn luyện của thí sinh. Các trường cũng cần phải phân tích rủi ro và phương án giải quyết, phối hợp giải quyết trong quá trình tuyển sinh.

Bên cạnh đó, nếu một số trường xét tuyển theo phương thức riêng, có yêu cầu phức tạp hơn vẫn cần có hệ thống đăng ký và nhận hồ sơ riêng. Trong cùng một ngành, theo bà Thủy, cũng nên quy về cùng một thang điểm để đảm bảo công bằng.

Hội nghị trực tuyến tuyển sinh cao đẳng ngành giáo dục mầm non, đại học năm 2022

Tại Hội nghị, Thứ trưởng Hoàng Minh Sơn cũng cho rằng, các trường không nên chạy đua “nở rộ” nhiều phương thức. Việc lựa chọn phương thức mới, một tổ hợp mới cần phải được cân nhắc kỹ lưỡng.

“Không nên thêm quá nhiều phương thức thi. Khi tất cả các trường đưa thêm nhiều phương thức tuyển sinh, cuối cùng vẫn chỉ chọn trong từng đó thí sinh, do đó không hẳn các trường sẽ có lợi trong việc này”, ông Sơn nói.

Những điểm mới trong mùa tuyển sinh năm 2022

Đại diện Bộ GD-ĐT cũng nêu ra 6 nội dung dự kiến điều chỉnh trong mùa tuyển sinh năm 2022. Trong đó, việc đăng ký dự thi kỳ thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển đại học phải thực hiện trên Cổng thông tin của Bộ hoặc Cổng dịch vụ công quốc gia.

Đối với thí sinh đăng ký xét tuyển đợt 1, tất cả các nguyện vọng xét tuyển được đăng ký xét tuyển trực tuyến sau khi kết thúc kỳ thi tốt nghiệp THPT, các nguyện vọng được xếp thứ tự từ 1 đến hết.

Tất cả các nguyện vọng đăng ký xét tuyển của thí sinh vào các cơ sở đào tạo được lọc ảo chung trên hệ thống và thí sinh trúng tuyển ở nguyện vọng cao nhất khi đáp ứng điều kiện của cơ sở đào tạo.

Đối với những ngành sử dụng đồng thời nhiều phương thức xét tuyển, nhiều tổ hợp môn thi, các trường phải giải trình được sự phù hợp của sự lựa chọn này, đảm bảo sự công bằng cho thí sinh. Nếu mỗi phương thức hoặc mỗi tổ hợp môn thi có chỉ tiêu riêng thì đề án tuyển sinh của các trường phải giải trình được căn cứ phù hợp cho việc phân chỉ tiêu cho từng phương thức hoặc tổ hợp.

Năm 2022, dự kiến, kết quả học tập năm lớp 10, lớp 11, lớp 12 sẽ được cập nhật lên cơ sở dữ liệu ngành, đồng thời kiểm tra rà soát dữ liệu này sau khi được đồng bộ sang hệ thống quản lý thi và xét tuyển.

Thúy Nga

Thi tốt nghiệp THPT năm 2022 dự kiến vào tháng 7

Đại diện Bộ GD-ĐT cho biết, kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 dự kiến diễn ra vào tháng 7, do thời gian kết thúc năm học của lớp 12 ở một số địa phương có thể phải kéo dài đến hết tháng 6.

Vậy hiểu thế nào đây về toán học như một ngôn ngữ chung?

Đó có phải vì không bó hẹp trong một sinh ngữ như tiếng Việt, hay Trung, hay Anh hay Pháp; Toán học có một hệ thống ký hiệu và công thức để mọi người trên thế giới cùng hiểu? Nhưng ở đây, tôi muốn nhìn xa hơn nữa: toán học là một ngôn ngữ chung, không chỉ vượt qua các đường biên giới địa lý giữa các đất nước, mà là vượt qua cả các đường biên giới vô hình giữa các ngành khoa học khác nhau: từ vật lý, hóa học, sinh học, cho đến cả kinh tế hay xã hội học. Chính toán học sẽ cho chúng ta những mô hình để thể hiện những đặc tính quan trọng của các hệ thống trong các ngành khoa học khác nhau, và từ đó đi thẳng đến giải quyết những câu hỏi căn cơ.

Thế kỷ 20 đã phát triển và thế kỷ 21 đã chứng kiến sự bùng nổ của một mô hình toán học như vậy: mô hình đồ thị.

Sự ra đời và phát triển của đồ thị

Trước hết, đồ thị là gì? Định nghĩa rất đơn giản: đồ thị gồm một số đỉnh, và một số cạnh nối các đỉnh đó. Bậc của mỗi đỉnh chính là số cạnh nối đỉnh đó.

Ví dụ đơn giản một hình tam giác abc và có một đỉnh ở giữa nối với các đỉnh là một đồ thị 4 đỉnh và 6 cạnh. Một ví dụ thú vị hơn là bản đồ các đường bay của Vietnam Airline tại Việt Nam: mỗi sân bay có thể coi là một đỉnh, và mỗi chặng bay được coi là một cạnh nối sân bay đi và sân bay đến.

Sơ đồ đường bay VNAL trong một số nước. Nguồn: website Vietnamairlines

Đồ thị được nhà Toán học lỗi lạc Euler đề xuất vào năm 1736 khi nghiên cứu bài toán 4 vùng đất và 7 cây cầu ở thành phố Konigsberg. Mặc dù vậy trong 2 thế kỷ đầu tiên, những nghiên cứu lẻ tẻ về các đồ thị chỉ vài chục đỉnh chưa có nhiều ý nghĩa.

Phải đến thế kỷ 20, với sự ra đời và phát triển của tin học, từ một vị trí nhỏ nhoi trong bóng tối, đồ thị đã hiện ra trên các trang sách như một mô hình hữu hiệu để mô tả sự kết nối, sự tương tác: những hệ thống hàng trăm máy móc được nối với nhau bằng các dây cáp, những bản đồ đường bay, đường tàu, bản đồ thành phố vv. Một trong những bài toán đau đầu nhất và điển hình nhất là bài toán tô màu bản đồ: nếu trên tấm bản đồ thế giới ta tô mỗi nước một màu sao cho hai nước láng giềng sẽ có màu khác nhau, thì cần phải có bao nhiêu màu sắc để tô? Đây là một nhu cầu rất tự nhiên. Ta hình dung 4 nước Pháp, Đức, Bỉ và Luxembourg, nếu vẽ ra thì cũng giống như hình tam giác với 1 đỉnh ở giữa, tất cả đều là láng giềng của nhau nên đều phải tô màu khác nhau, vì thế cần có 4 màu. Thế còn để tô cả thế giới rộng lớn này? Và nếu các đất nước bị chia cắt hay hợp nhất thì sao? Vậy mà, kỳ lạ thay chỉ cần 4 màu thôi, dù thế giới có đổi thay thế nào.

Giả thuyết 4 màu này đã luôn để mở và thách thức bao nhiêu thế hệ toán học. Nó chỉ được chứng minh khi nhờ có sức mạnh của tin học, người ta đã dùng đồ thị để mô phỏng bài toán này, và xét tất cả các trường hợp xảy ra bằng các thuật toán chạy trên máy tính. Đây có thể được coi là bước đột phá trong tư duy: chứng minh một định lý toán học bằng tin học.

Cũng chính tin học với sự phát triển vũ bão đã thay đổi cách mà chúng ta làm việc, cách mà chúng ta sống. Đã mở ra rồi một cuộc cách mạng công nghệ với dữ liệu lớn, với trí tuệ nhân tạo, với các hệ mật mã, với thôi thúc chuyển đổi số trong mỗi ngõ ngách của cuộc sống. Bao nhiêu các hệ thống phức tạp và hỗn độn đặt ra cho chúng ta những câu hỏi cần tìm hiểu và giải quyết. Trước những đòi hỏi đó, mô hình đồ thị cũng thay đổi để thích ứng, để phản ánh những hệ thống của cuộc sống. Hãy nhìn một hiện tượng vừa mới xuất hiện mà đã thâm nhập vào cuộc sống của mỗi chúng ta: mạng facebook với hàng tỷ trang cá nhân. Đó không gì khác hơn là một đồ thị cực lớn ở đó mỗi trang cá nhân là một đỉnh, và hai trang được kết nối nếu họ là bạn (friend) của nhau. Hãy nhìn vào các bộ phim với hàng chục hàng trăm diễn viên, các diễn viên đóng chung phim với nhau sẽ được nối với nhau là quan hệ đồng diễn. Tương tự như vậy những tác giả viết chung bài báo với nhau, những công dân bầu cử cho cùng một đảng phái với nhau; những protein tương tác với nhau trong các mạng sinh học, và gần đây nhất trong đại dịch này là những người đã tiếp xúc với nhau trong cự ly dưới 2m. Bất cứ nơi đâu có mối quan hệ tương tác thì ở đó ta có thể mô hình bằng đồ thị.

Điển hình trong số đó chính là công cụ tìm kiếm Google. Ngày nay, mỗi khi ta đánh bất cứ một từ gì lên Google, thì nó sẽ cho ta hàng loạt câu trả lời, có thể lên đến hàng trăm nghìn, hàng triệu; nhưng điều thú vị nhất là dường như những thông tin quan trọng nhất, cần thiết nhất luôn xuất hiện đầu tiên. Vì đâu Google có thể làm như vậy? Đó chính là nhờ có thuật toán Pagerank, một thuật toán dựa trên mô hình đồ thị giữa các trang web.

Ý tưởng thuật toán Pagerank. Nguồn: Wikipedia

Có được những phát kiến vĩ đại như vậy, chính bởi vì các nhà toán học đã khám phá ra những quy luật từ sự hỗn loạn, khám phá ra những điểm ổn định từ sự vận động không ngừng, và những tính chất từ sự ngẫu nhiên của các hệ phức tạp – những tính chất đã được dùng để xây dựng nên các mô hình đồ thị cực lớn.

Các tính chất của đồ thị cực lớn

- Ngẫu nhiên ư? Ta hiểu thế nào về sự ngẫu nhiên? Nó có giống trò chơi xúc sắc, có giống chơi tung đồng xu? Không, sự ngẫu nhiên trong các đồ thị lớn không giản đơn như vậy, bởi vì cuộc sống không phải là một trò chơi xúc sắc.

Mô hình một phần đồ thị Facebook. Nguồn: Mathematica.stackexchange

Nếu ngẫu nhiên một ngày bạn vào Internet, thì chắc chắn bạn sẽ truy cập những trang như Facebook, Google hay VietNamNet nhiều hơn là vào 1 trang cá nhân hay trang thông tin của một trường học nhỏ bé nào. Cái ngẫu nhiên trong mạng phức tạp không công bằng, dẫu rằng nó không đoán định được, nhưng nó có những sự ưu tiên khác nhau, xác suất khác nhau. Nguyên lý này cũng chính là nguyên lý cuộc sống: người giàu càng giàu.

Vậy đồ thị làm sao diễn tả được tính chất này? Trong mô hình đồ thị ngẫu nhiên của Erdos - người đặt nền móng cho lý thuyết đồ thị vào đầu thế kỉ 20 - có rất nhiều đỉnh có bậc trung bình, rất ít bậc có đỉnh lớn và rất ít đỉnh có bậc nhỏ. Nhưng trong đồ thị cực lớn của thế kỷ 21: các đỉnh có bậc lớn rất ít và các đỉnh có bậc nhỏ chiếm đại đa số - tương ứng với việc có rất ít người có tầm ảnh hưởng lớn và đại đa số là đám đông thầm lặng.

- Tính chất thứ 2 của đồ thị lớn là đồ thị rất thưa. Hãy tưởng tượng nếu như xét trong một lớp học, xác suất để hai người là bạn nhau là khá lớn, nhưng nếu nhìn rộng ra cả thế giới 7 tỷ người, thì xác xuất này gần bằng 0. Tính chất này của cuộc sống được phản ánh qua những đồ thị cực lớn rất thưa– mỗi cạnh có xác xuất gần bằng 0, trái ngược với đồ thị dày đặc của đầu thế kỷ 20.

- Tính chất thứ 3 là thế giới nhỏ. Ta thường nghe trong một dịp hội hè hai người lần đầu gặp nhau không ngờ rằng họ có những người bạn chung và thốt lên "ôi trái đất tròn" hoặc "Hà Nội thật là bé nhỏ". Hai con người bất kỳ trên thế gian này luôn tìm được đến nhau chỉ qua một số rất ít người bạn trung gian. Hay như trên Facebook nếu mỗi người lan tỏa thông tin đến các bạn bè mình thì chỉ sau một vài lần thông tin sẽ lan tỏa đến khắp mọi người. Tính chất này đã mang tên gọi "thế giới nhỏ" trong các đồ thị lớn.

- Và một tính chất thật đặc biệt, bất ngờ đó là tính cục bộ, tính co cụm. Như chúng ta đã thấy, xác xuất để hai con người trên thế giới này là bạn của nhau là vô cùng nhỏ bé, nhưng nếu hai con người ấy có chung một người bạn thì xác suất để họ là bạn nhau lại rất lớn. Hai con người gặp nhau và yêu nhau, ngạc nhiên rằng bố mẹ họ đã từng học cùng một trường, ngạc nhiên rằng thủa xưa họ đã cùng đọc một cuốn sách. Nhưng đó có phải là tình cờ không khi chính những điều chung nhau ấy, chính cái môi trường giống nhau ấy, sở thích giống nhau ấy, đã đưa họ đến gần nhau."Chúng ta gặp nhau tình cờ nhờ số phận". Nhưng Số phận có những quy luật của nó.

Các mô hình toán học, bắt đầu từ những khái niệm đơn giản nhất, cứ mỗi ngày mỗi thay đổi cho tiệm cần gần hơn với những mạng phức tạp, cho thể hiện được rõ hơn những quy luật ẩn chứa sâu xa trong cuộc sống.

Và bởi vì cuộc sống là phong phú đến vô cùng nên mỗi một mô hình không bao giờ là chính cuộc sống, "không có mô hình đúng mà chỉ có mô hình phù hợp", phù hợp cho mỗi câu hỏi mà ta đặt ra. Và chính vì vậy mà toán học luôn rộng mở, luôn chờ đợi những phát minh mới để ngày một gần hơn, phản ánh chân thực hơn cuộc sống.

• Các câu trong ngoặc kép là trích dẫn.

Phan Thị Hà Dương

Cô gái Hà Nội làm Toán ở Mỹ

Vào đại học từ năm 16 tuổi, mục tiêu của Trần Mai Ngọc khi ấy là lựa chọn ngành nào “phải tự học là chính, bởi như vậy mới có khả năng đi xa”. Cuối cùng, cô gái Hà Nội quyết định theo đuổi con đường làm toán.

Ngày 14/3 là ngày Toán học quốc tế

Vậy hiểu thế nào đây về toán học như một ngôn ngữ chung?

Đó có phải vì không bó hẹp trong một sinh ngữ như tiếng Việt, hay Trung, hay Anh hay Pháp; Toán học có một hệ thống ký hiệu và công thức để mọi người trên thế giới cùng hiểu? Nhưng ở đây, tôi muốn nhìn xa hơn nữa: toán học là một ngôn ngữ chung, không chỉ vượt qua các đường biên giới địa lý giữa các đất nước, mà là vượt qua cả các đường biên giới vô hình giữa các ngành khoa học khác nhau: từ vật lý, hóa học, sinh học, cho đến cả kinh tế hay xã hội học. Chính toán học sẽ cho chúng ta những mô hình để thể hiện những đặc tính quan trọng của các hệ thống trong các ngành khoa học khác nhau, và từ đó đi thẳng đến giải quyết những câu hỏi căn cơ.

Thế kỷ 20 đã phát triển và thế kỷ 21 đã chứng kiến sự bùng nổ của một mô hình toán học như vậy: mô hình đồ thị.

Sự ra đời và phát triển của đồ thị

Trước hết, đồ thị là gì? Định nghĩa rất đơn giản: đồ thị gồm một số đỉnh, và một số cạnh nối các đỉnh đó. Bậc của mỗi đỉnh chính là số cạnh nối đỉnh đó.

Ví dụ đơn giản một hình tam giác abc và có một đỉnh ở giữa nối với các đỉnh là một đồ thị 4 đỉnh và 6 cạnh. Một ví dụ thú vị hơn là bản đồ các đường bay của Vietnam Airline tại Việt Nam: mỗi sân bay có thể coi là một đỉnh, và mỗi chặng bay được coi là một cạnh nối sân bay đi và sân bay đến.

Sơ đồ đường bay VNAL trong một số nước. Nguồn: website Vietnamairlines

Đồ thị được nhà Toán học lỗi lạc Euler đề xuất vào năm 1736 khi nghiên cứu bài toán 4 vùng đất và 7 cây cầu ở thành phố Konigsberg. Mặc dù vậy trong 2 thế kỷ đầu tiên, những nghiên cứu lẻ tẻ về các đồ thị chỉ vài chục đỉnh chưa có nhiều ý nghĩa.

Phải đến thế kỷ 20, với sự ra đời và phát triển của tin học, từ một vị trí nhỏ nhoi trong bóng tối, đồ thị đã hiện ra trên các trang sách như một mô hình hữu hiệu để mô tả sự kết nối, sự tương tác: những hệ thống hàng trăm máy móc được nối với nhau bằng các dây cáp, những bản đồ đường bay, đường tàu, bản đồ thành phố vv. Một trong những bài toán đau đầu nhất và điển hình nhất là bài toán tô màu bản đồ: nếu trên tấm bản đồ thế giới ta tô mỗi nước một màu sao cho hai nước láng giềng sẽ có màu khác nhau, thì cần phải có bao nhiêu màu sắc để tô? Đây là một nhu cầu rất tự nhiên. Ta hình dung 4 nước Pháp, Đức, Bỉ và Luxembourg, nếu vẽ ra thì cũng giống như hình tam giác với 1 đỉnh ở giữa, tất cả đều là láng giềng của nhau nên đều phải tô màu khác nhau, vì thế cần có 4 màu. Thế còn để tô cả thế giới rộng lớn này? Và nếu các đất nước bị chia cắt hay hợp nhất thì sao? Vậy mà, kỳ lạ thay chỉ cần 4 màu thôi, dù thế giới có đổi thay thế nào.

Giả thuyết 4 màu này đã luôn để mở và thách thức bao nhiêu thế hệ toán học. Nó chỉ được chứng minh khi nhờ có sức mạnh của tin học, người ta đã dùng đồ thị để mô phỏng bài toán này, và xét tất cả các trường hợp xảy ra bằng các thuật toán chạy trên máy tính. Đây có thể được coi là bước đột phá trong tư duy: chứng minh một định lý toán học bằng tin học.

Cũng chính tin học với sự phát triển vũ bão đã thay đổi cách mà chúng ta làm việc, cách mà chúng ta sống. Đã mở ra rồi một cuộc cách mạng công nghệ với dữ liệu lớn, với trí tuệ nhân tạo, với các hệ mật mã, với thôi thúc chuyển đổi số trong mỗi ngõ ngách của cuộc sống. Bao nhiêu các hệ thống phức tạp và hỗn độn đặt ra cho chúng ta những câu hỏi cần tìm hiểu và giải quyết. Trước những đòi hỏi đó, mô hình đồ thị cũng thay đổi để thích ứng, để phản ánh những hệ thống của cuộc sống. Hãy nhìn một hiện tượng vừa mới xuất hiện mà đã thâm nhập vào cuộc sống của mỗi chúng ta: mạng facebook với hàng tỷ trang cá nhân. Đó không gì khác hơn là một đồ thị cực lớn ở đó mỗi trang cá nhân là một đỉnh, và hai trang được kết nối nếu họ là bạn (friend) của nhau. Hãy nhìn vào các bộ phim với hàng chục hàng trăm diễn viên, các diễn viên đóng chung phim với nhau sẽ được nối với nhau là quan hệ đồng diễn. Tương tự như vậy những tác giả viết chung bài báo với nhau, những công dân bầu cử cho cùng một đảng phái với nhau; những protein tương tác với nhau trong các mạng sinh học, và gần đây nhất trong đại dịch này là những người đã tiếp xúc với nhau trong cự ly dưới 2m. Bất cứ nơi đâu có mối quan hệ tương tác thì ở đó ta có thể mô hình bằng đồ thị.

Điển hình trong số đó chính là công cụ tìm kiếm Google. Ngày nay, mỗi khi ta đánh bất cứ một từ gì lên Google, thì nó sẽ cho ta hàng loạt câu trả lời, có thể lên đến hàng trăm nghìn, hàng triệu; nhưng điều thú vị nhất là dường như những thông tin quan trọng nhất, cần thiết nhất luôn xuất hiện đầu tiên. Vì đâu Google có thể làm như vậy? Đó chính là nhờ có thuật toán Pagerank, một thuật toán dựa trên mô hình đồ thị giữa các trang web.

Ý tưởng thuật toán Pagerank. Nguồn: Wikipedia

Có được những phát kiến vĩ đại như vậy, chính bởi vì các nhà toán học đã khám phá ra những quy luật từ sự hỗn loạn, khám phá ra những điểm ổn định từ sự vận động không ngừng, và những tính chất từ sự ngẫu nhiên của các hệ phức tạp – những tính chất đã được dùng để xây dựng nên các mô hình đồ thị cực lớn.

Các tính chất của đồ thị cực lớn

- Ngẫu nhiên ư? Ta hiểu thế nào về sự ngẫu nhiên? Nó có giống trò chơi xúc sắc, có giống chơi tung đồng xu? Không, sự ngẫu nhiên trong các đồ thị lớn không giản đơn như vậy, bởi vì cuộc sống không phải là một trò chơi xúc sắc.

Mô hình một phần đồ thị Facebook. Nguồn: Mathematica.stackexchange

Nếu ngẫu nhiên một ngày bạn vào Internet, thì chắc chắn bạn sẽ truy cập những trang như Facebook, Google hay VietNamNet nhiều hơn là vào 1 trang cá nhân hay trang thông tin của một trường học nhỏ bé nào. Cái ngẫu nhiên trong mạng phức tạp không công bằng, dẫu rằng nó không đoán định được, nhưng nó có những sự ưu tiên khác nhau, xác suất khác nhau. Nguyên lý này cũng chính là nguyên lý cuộc sống: người giàu càng giàu.

Vậy đồ thị làm sao diễn tả được tính chất này? Trong mô hình đồ thị ngẫu nhiên của Erdos - người đặt nền móng cho lý thuyết đồ thị vào đầu thế kỉ 20 - có rất nhiều đỉnh có bậc trung bình, rất ít bậc có đỉnh lớn và rất ít đỉnh có bậc nhỏ. Nhưng trong đồ thị cực lớn của thế kỷ 21: các đỉnh có bậc lớn rất ít và các đỉnh có bậc nhỏ chiếm đại đa số - tương ứng với việc có rất ít người có tầm ảnh hưởng lớn và đại đa số là đám đông thầm lặng.

- Tính chất thứ 2 của đồ thị lớn là đồ thị rất thưa. Hãy tưởng tượng nếu như xét trong một lớp học, xác suất để hai người là bạn nhau là khá lớn, nhưng nếu nhìn rộng ra cả thế giới 7 tỷ người, thì xác xuất này gần bằng 0. Tính chất này của cuộc sống được phản ánh qua những đồ thị cực lớn rất thưa– mỗi cạnh có xác xuất gần bằng 0, trái ngược với đồ thị dày đặc của đầu thế kỷ 20.

- Tính chất thứ 3 là thế giới nhỏ. Ta thường nghe trong một dịp hội hè hai người lần đầu gặp nhau không ngờ rằng họ có những người bạn chung và thốt lên "ôi trái đất tròn" hoặc "Hà Nội thật là bé nhỏ". Hai con người bất kỳ trên thế gian này luôn tìm được đến nhau chỉ qua một số rất ít người bạn trung gian. Hay như trên Facebook nếu mỗi người lan tỏa thông tin đến các bạn bè mình thì chỉ sau một vài lần thông tin sẽ lan tỏa đến khắp mọi người. Tính chất này đã mang tên gọi "thế giới nhỏ" trong các đồ thị lớn.

- Và một tính chất thật đặc biệt, bất ngờ đó là tính cục bộ, tính co cụm. Như chúng ta đã thấy, xác xuất để hai con người trên thế giới này là bạn của nhau là vô cùng nhỏ bé, nhưng nếu hai con người ấy có chung một người bạn thì xác suất để họ là bạn nhau lại rất lớn. Hai con người gặp nhau và yêu nhau, ngạc nhiên rằng bố mẹ họ đã từng học cùng một trường, ngạc nhiên rằng thủa xưa họ đã cùng đọc một cuốn sách. Nhưng đó có phải là tình cờ không khi chính những điều chung nhau ấy, chính cái môi trường giống nhau ấy, sở thích giống nhau ấy, đã đưa họ đến gần nhau."Chúng ta gặp nhau tình cờ nhờ số phận". Nhưng Số phận có những quy luật của nó.

Các mô hình toán học, bắt đầu từ những khái niệm đơn giản nhất, cứ mỗi ngày mỗi thay đổi cho tiệm cần gần hơn với những mạng phức tạp, cho thể hiện được rõ hơn những quy luật ẩn chứa sâu xa trong cuộc sống.

Và bởi vì cuộc sống là phong phú đến vô cùng nên mỗi một mô hình không bao giờ là chính cuộc sống, "không có mô hình đúng mà chỉ có mô hình phù hợp", phù hợp cho mỗi câu hỏi mà ta đặt ra. Và chính vì vậy mà toán học luôn rộng mở, luôn chờ đợi những phát minh mới để ngày một gần hơn, phản ánh chân thực hơn cuộc sống.

• Các câu trong ngoặc kép là trích dẫn.

Phan Thị Hà Dương

Cô gái Hà Nội làm Toán ở Mỹ

Vào đại học từ năm 16 tuổi, mục tiêu của Trần Mai Ngọc khi ấy là lựa chọn ngành nào “phải tự học là chính, bởi như vậy mới có khả năng đi xa”. Cuối cùng, cô gái Hà Nội quyết định theo đuổi con đường làm toán.

 - Theo quyết định mới nhất của Tổng cục TDTT liên quan đến danh sách các Phó trưởng đoàn tham dự SEA Games 29, từ 10 người, vị trí này sẽ chỉ còn 2 người được đăng ký với đúng chức danh.

Bộ trưởng yêu cầu rà soát danh sách SEA Games có 10 phó đoàn" alt="Danh sách SEA Games 29: Chỉ còn 2 Phó đoàn" src="

 - Theo quyết định mới nhất của Tổng cục TDTT liên quan đến danh sách các Phó trưởng đoàn tham dự SEA Games 29, từ 10 người, vị trí này sẽ chỉ còn 2 người được đăng ký với đúng chức danh.